众所周知，一维只能表示某研究对象在一条直线或曲线上的位置，在二维空间中则可以描述一个研究对象在平面上的位置；而当飞机或宇宙飞船在空中飞行时，地面的操控人员仍需确定其空间位置，于是进入了三维空间。在一个三维空间中，给定自变量x、y的值，再根据一定的函数关系ｆ（ｘ、ｙ）就可以确定ｚ值从而确定空间的点。如ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ），给定x、y不同的值，则确定不同的ｚ值，从而构成一张曲面或平面或空间曲线或三维空间中分散的点。但是，我们所生活的空间除了平面、曲面外，还有实体，我们如何再在几何空间中描述一个实体呢？四维空间的第四个轴客观存在吗？
当想到这个问题时，我想到了四维空间。一般意义上，人们都认为四维空间就是在三维空间的基础上加上时间t轴，它的第四个轴是没有几何意义的。这个说法在某种角度来看是正确的，如给定一个研究对象，我们可以其在三维空间中的位置，进入四维空间后，加入时间轴t，表示其位置随时间的变化。但是所有的四维空间都是如此吗？我认为这种说法具有一定的片面性。四维空间的第四个轴u轴不一定表示时间，且u轴式客观存在的，可以在几何图纸上描绘出来。
如四元函数u2=x2+y2+z2，此函数的几何意义自然存在于四维空间中，但又如何描述呢？仿照从二维空间到三维空间的变化来探究四维空间。如二维空间中的二元函数y=f（x），给定一个x值则对应一个y值（假定此函数在R上连续），则它表示二维空间中的直线或曲线。将上述函数写成方程的形式，则为0=f（x）—y，若对应不同的函数f（x），f（x）—y的值就不同于是令z= f（x）—y=φ（x，y）这个三元函数的几何意义则存在于三维空间中。在空间内过原点建立垂直于xoy平面的z轴（选向上为其正方向），给定不同的x，y值，对应一个z值，就在空间形成曲线、曲面、平面或空间内分散的点。这就是三维空间，有x轴，y轴和z轴。若再次令u=φ（x，y）—z，将其表示成四元函数u=φ（x，y，z）它的几何意义则存在于四维空间中。如对于球面方程x2+y2+z2=4，若给定不同的半径u，则对应不同半径的球面，函数关系式为u2=x2+y2+z2 （自变量x、y、z，因变量u），给定x，y，z不同的值对应不同半径的球面；当x=y=z=0时，u=0，这就是球心。此时四元函数u2=x2+y2+z2表示的是一个自变量为x，y，z，因变量为u的四维空间中的实体。当|u|≤|k|（k>0）时，此函数可表示实体球上的任意一点，当然，若不限定u，它则无限制地以原点为中心向各个方向延伸下去。
可是，此时四维空间的第四个轴u轴客观存在吗？试想，分别给定xy、z各一个值，便可以确定空间的一个点M（点M在半径为 的球面上），根据原点与M点可确定一条直线，规定与Z轴正向夹角为锐角的方向为U轴正向，则此轴为四位空间的第四个轴U轴。给定x、y、z不同的值则对应不同的U轴；当不同的X、Y、Z值对应的点与原点的连线确定的向量的方向余弦 、 、 相等时，则对应相同的U轴。当x2+y2+z2 =1时，对应着U轴上的单位长度；当u2=x2+y2+z2 所确定的U值不同时，可根据么OM方向于各个坐标则有确定的方向角在相应的U轴上确定其U值。如当x=y=z= 时，可在空间确定以点M（ ， ， ），连接OM，画出OM所在的直线（|OM|= =U=1），在其上标出单位长度，OM与z轴夹角为锐角的方向为U轴正方向，若x=y=z=- 时，则对应U轴负方向上的点；对于不同的x、y、z且x2+y2+z2 =1则可确定一个球面。根据xoy平面上方的球面上的点则可确定不同的U轴。当给定x= ，y= ，z= 时，可根据其方向角在相应的U轴上由U= 确定不同的点。若令 |u|≤|k|（k>0），给定不同的 x ，y ，z值使得x2+y2+z2 ≦k2 则对应着U=0到U=k的无数张球面，这就是存在于思维空间中的实体球。
从以上的论述中，我们可以明显看出四维空间的第四个轴并不一定就是时间轴，它是客观存在的，可以在几何图纸上画出来，且在四维空间中具有具体的几何意义。
